Conceptos Matematicos

Historia de la matemática

La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimientos en matemáticas, de los métodos matemáticos, de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado, de los matemáticos involucrados.

Antes de la edad moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 1900 a. C.), el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1650 a. C.) y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.). En todos estos textos se menciona el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.^{[cita requerida]}

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.^[1] La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media. Desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, han ido creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

 

Matemáticas en Mesoamérica

Las matemáticas no eran entre los mesoamericanos simples números, sino que se les daba un valor y un contenido simbólico gracias al pensamiento dualista. El sistema matemático mesoamericano era vigesimal, es decir, constaba de una base 20 y los números se representaban por medio de puntos que valían uno y barras que le daban un valor de 5. Este tipo de representación se combinaba con una numerología simbólica: el 2 se relaciona con el origen, pues todo origen se toma como desdoblado; el 3 con el fuego doméstico; el 4 ligado a las cuatro esquinas del universo; el 5 expresando la inestabilidad; el 9 hace referencia al mundo subterráneo, y a la noche; el 13 es el número de la luz; el 20 de la plenitud y el 400 del infinito.

Una de las grandes contribuciones a las matemáticas, sobre todo de los mexicas, fue la invención del nepohualtzitzin que es un ábaco utilizado para realizar operaciones aritméticas de manera rápida. El dispositivo, fabricado con madera, hilos y granos de maíz, también es conocido como «computadora azteca». Los mayas fueron la primera civilización de Mesoamérica y de muchas otras regiones que tuvo el número cero como concepto matemático.

Conceptos Matemáticos

 

Para poder aprender a utilizar las matemáticas, lo primero que se debe conocer es el idioma o lenguaje en el que se "expresan" estas matemáticas. Este lenguaje es el de los números. Así como existen muchas naciones diferentes, y cada una adopta un idioma diferente, así mismo hay diferentes Sistemas de Numeración diferentes.

Podemos distinguir dos clases Sistemas de Numeración: antiguos y modernos.

Los sistemas antiguos se desarrollaron en cada civilización antigua y su finalidad era solamente para contar y llevar registro de cantidades; realizar operaciones con estos números era una tarea titánica reservada casi exclusivamente al sabio del reino. La característica principal de estos sistemas antiguos es que son Aditivos. Los números se escribían poniendo un símbolo por cada objeto o grupo de objetos. Esto hacía que la escritura de números fuera muy compleja. Un ejemplo es el Sistema de numeración Romana, en la que para escribir el número 33 habría que escribir "3 dieces" y "3 unidades" de la siguiente manera: XXXIII.

Los sistemas de numeración modernos se basan en una propiedad inigualablemente extraordinaria del antiguo Sistema de Numeración Decimal Indoarábigo. Esta propiedad es que los números adquieren diferentes valores dependiendo la posición en la que se escriban en una cifra. Debido a esto se llaman sistemas de numeración posicionales.

Existen muchos sistemas de numeración posicional, cada uno de ellos con su aplicación especial. Por ejemplo, el Sistema Binario se utiliza en la comunicación entre computadoras y aparatos electrónicos; el Sistema de Hexadecimal se utiliza para la codificación en procesadores de 16 bits; pero el sistema más utilizado alrededor de todo el mundo es el Sistema de Numeración Decimal Indoarábigo.

El Sistema de Numeración Decimal Indoarábigo es el que utilizamos cotidianamente y se llama Indoarábigo porque se dio a conocer en todo el mundo a través de los árabes y se creía que ellos lo desarrollaron. Sin embargo, se ha descubierto evidencia que indica que se originó en la India.

Es un sistema de numeración Decimal porque su base es el número 10; Además, es un sistema posicional, pues el valor de los diferentes dígitos escritos en un número o cifra dependen de la posición en dicha cifra: así, en el número 23, el dígito 3 vale tres, pero el dígito 2 vale veinte.

Este sistema incluye una metodología para nombrar a todos los números conocidos, ya sean enteros o fracciones.

 

Ramas de la Matemática

ARIMETICA  

En la prehistoria, la aritmética se limita al uso de números enteros, encontrados inscritos en objetos que indican una clara concepción de la suma y resta; el más conocido es el hueso Ishango de África central, que se data entre 18000 y 20000 a. C.

Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmética elemental en 1800 a. C., aunque los historiadores sólo pueden especular sobre los métodos utilizados para generar los resultados aritméticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla de arcilla Plimpton 322, que parece a ser una lista de Pitágoras triples, pero sin mostrar cómo se haya generado la lista. Del mismo modo, el egipcio Papiro de Ahmes (que data de ca. 1650 a. C., aunque es una copia de un antiguo texto de ca. 1850 a. C.) muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema de fracciones.

Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta añadió el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división, basadas en los números arábigos. A pesar de que ahora se considera elemental, su sencillez es la culminación de miles de años de desarrollo matemático. Por el contrario, el antiguo matemático Arquímedes dedicó todo un tratado para la elaboración de una notación con determinados números. El florecimiento del álgebra en el mundo medieval islámico y en el Renacimiento europeo fue fruto de la enorme simplificación de las operaciones mediante la notación decimal posicional.

 

 

 

GEOMETRIA

La geometría, del griego geo (tierra) y metría (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Tiene su aplicación práctica en física, mecánica, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).
La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

Axiomas, definiciones y teoremas

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.
Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben de perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los

 

 

Tipos de geometría

Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:

Geometría euclidiana

Geometría plana

Geometría espacial

Geometría no euclidiana

Geometría riemanniana

Geometría analítica

Geometría diferencial

Geometría proyectiva

Geometría descriptiva

Geometría de incidencia

Geometría de dimensiones bajas

Geometría sagrada

 

Calculo diferencial e integral

Cálculo como razonamiento y cálculo lógico-matemático

 

Las dos acepciones del cálculo (la general y la restringida) arriba definidas están íntimamente ligadas. El cálculo es una actividad natural y primordial en el hombre, que comienza en el mismo momento en que empieza a relacionar unas cosas con otras en un pensamiento o discurso. El cálculo lógico natural como razonamiento es el primer cálculo elemental del ser humano. El cálculo en sentido lógico-matemático aparece cuando se toma conciencia de esta capacidad de razonar y trata de formalizarse.

 

Calculo vectorial 

CÁLCULO VECTORIAL
El cálculo vectorial proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones físicas y, ayuda en gran medida a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos.
1.1 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Se llame magnitudes escalares a aquellas que quedan determinadas únicamente por su valor numérico. Son magnitudes escalares, por ejemplo: la temperatura, la masa de un cuerpo, el volumen, etc.
Para definir otras magnitudes, además es necesario precisar otras características, como su dirección y su sentido. Esta clase de magnitudes se llaman vectoriales y se representan gráficamente por medio de vectores. Ejemplos de magnitudes vectoriales serían la velocidad, la aceleración, o la fuerza.
Clasificaremos los vectores en libres, deslizantes, fijos y axiales.
*Vectores libres. Vienen determinados por sus tres componentes cartesianas, tomamos como base de este sistema la base canónica, formada por los vectores y, j y k, perpendiculares entre sí y unitarios.
Los vectores libres pueden trasladar su origen a cualquier punto del espacio manteniendo el módulo y el sentido constante y su dirección paralela.
Son ejemplos de vectores libres el momento de una fuerza o el vector que representa la fuerza que ejerce el viento sobre una cierta superficie.
*Vectores deslizantes. Pueden trasladar su origen a lo largo de su línea de acción y vienen determinados por sus tres componentes cartesianas y por su recta soporte o línea de acción. Un ejemplo sería la fuerza que se ejerce sobre un sólido rígido.
*Vectores fijos. Para determinarlos es necesario conocer sus cuatro elementos característicos; vienen dados pues por su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Como ejemplo se puede citar la velocidad de una partícula móvil o la fuerza aplicada en un punto.
*Vectores axiales. Son vectores que representan una magnitud angular. El módulo del vector indica el valor numérico de esa magnitud, la dirección del vector señala el eje de rotación, y el sentido del vector se hace corresponder con el sentido de giro a través de un convenio que se expresa mediante la regla de Maxwell: el sentido de la rotación es el sentido de giro de un sacacorchos cuando este avanza en el sentido que indica el vector. La velocidad angular de una partícula sometida a movimiento circular es un ejemplo de vector axial

Algebra

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» جبر (yabr) , proviene del árabe y significa "reducción". Al empezar con el estudio del Álgebra aparecen nuevas expresiones, a las que llamamos expresiones algebraicas, y conviene nombrarlas para identificarlas correctamente durante cualquier intercambio de información.

De este modo, al conjunto de números y letras que representan operaciones entre cantidades se llama expresión algebraica. Esta expresión se puede separar en términos; Los términos se distinguen uno de otro porque están separados por un signo de mas (+) o un signo de menos (-), esto significa que entre letras y números sólo puede haber multiplicaciones y divisiones para agruparlos.

Dentro de cada término distinguimos números que llamamos Coeficientes y Letras que llamamos Incógnitas o variables. Estas incógnitas o variables pueden tener o no un exponente, que es un número que se escribe más pequeño y en la parte superior derecha de la incógnita. Este exponente representa la potencia de esa incógnita y a partir de éstos exponentes se obtiene el grado de un término

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.

Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.

Permite la formulación de relaciones funcionales.

·         Signos y símbolos

·         En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando.

·         Aquí algunos ejemplos:

 

 

 

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad dada. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.

En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.

Una ecuación polinomial o ecuación polinómica es una igualdad entre dos polinomios. Realizando las mismas transformaciones y en el mismo orden, en los dos miembros de la ecuación, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero, razón por la cual se suele considerar que una ecuación polinómica es aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero. Ejemplo:

Sumando 2xy en ambos miembros, obtenemos:

En cuanto a las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, estas pueden resolverse por el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de la ecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de la ecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos de la función theta de Jacobi.

Probabilidad 

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

 

¿Qué es el azar? El diccionario de la Real Academia Española de la lengua lo define como una casualidad, un caso fortuito, y afirma que la expresión "al azar" significa "sin orden".[1] La idea de Probabilidad está íntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las encuestas. Pierre-Simon Laplace afirmó: "Es notable que una ciencia que comenzó con consideraciones sobre juegos de azar haya llegado a el objeto más importante del conocimiento humano". Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un soporte necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito.[2]
Según Amanda Dure, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las circunstancias."[3]
Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas.

 

 

 

 

Estadística

La estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos, ya sea para ayudar en la resolución de la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo estadística es más que eso, en otras palabras es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.

Distribución normal

Es transversal a una amplia variedad de disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad. Se usa para la toma de decisiones en áreas de negocios o instituciones gubernamentales.
La estadística se divide en dos grandes áreas:

La estadística descriptiva, se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, clústers, entre otros.

La estadística inferencial, se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas (estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras técnicas de modelamiento incluyen anova, series de tiempo y minería de datos.

Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada. Hay también una disciplina llamada estadística matemática, a la que se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra «estadísticas» también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, estadísticas criminales, entre otros.

                          

Lógica  

La lógica es una ciencia formal y una rama de la filosofía que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo λογική (logike), que significa «dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo», que a su vez viene de λόγος (logos), «palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio».
La lógica examina la validez de los argumentos en términos de su estructura, (estructura lógica), independientemente del contenido específico del discurso y de la lengua utilizada en su expresión y del los estados reales a los que dicho contenido se pueda referir.
Esto es exactamente lo que quiere decir que la lógica es una ciencia «formal».
Tradicionalmente ha sido considerada como una parte de la filosofía. Pero en su desarrollo histórico, a partir del final del siglo XIX, y su formalización simbólica ha mostrado su íntima relación con las matemáticas; de tal forma que algunos la consideran como Lógica matemática.
En el siglo XX la lógica ha pasado a ser principalmente la lógica simbólica. Un cálculo definido por unos símbolos y unas reglas de inferencia.[1] Lo que ha permitido un campo de aplicación fundamental en la actualidad: la informática.
Hasta entonces la lógica no tuvo este sentido de estructura formal estricta. La tradición aristotélica y estoica,[2] mantuvo siempre una relación con los argumentos del lenguaje natural, concediendo por tanto a los argumentos una transmisión de contenidos verdaderos. Por ello aún siendo formales, no eran formalistas.[3]
Hoy, tras los progresos científicos relativos a la lingüística, y el concepto semántico de verdad en su relación con el lenguaje,[4] tal relación se trata bajo un punto de vista completamente diferente.

La formalización estricta ha mostrado las limitaciones de la lógica tradicional interpretada actualmente como una particularidad de la lógica de clases.[5]

 

 

Sistemas lógicos

Existe un debate sobre si es correcto hablar de una lógica, o de varias lógicas, pero en el siglo XX se han desarrollado no uno, sino varios sistemas lógicos diferentes, que capturan y formalizan distintas partes del lenguaje natural. Se podría definir a un sistema lógico como un conjunto de cosas, que nos ayudan en la toma de decisiones que sean lo más convenientemente posible.
Un sistema lógico está compuesto por:

Un conjunto de símbolos primitivos (el alfabeto, o vocabulario).

Un conjunto de reglas de formación (la gramática) que nos dice cómo construir fórmulas bien formadas a partir de los símbolos primitivos.

Un conjunto de axiomas o esquemas de axiomas. Cada axioma debe ser una fórmula bien formada.

Un conjunto de reglas de inferencia. Estas reglas determinan qué fórmulas pueden inferirse de qué fórmulas. Por ejemplo, una regla de inferencia clásica es el modus ponens, según el cual, dada una fórmula A, y otra fórmula A → B, la regla nos permite afirmar que B.

Estos cuatro elementos completan la parte sintáctica de los sistemas lógicos. Sin embargo, todavía no se ha dado ningún significado a los símbolos discutidos, y de hecho, un sistema lógico puede definirse sin tener que hacerlo. Tal tarea corresponde al campo llamado semántica formal, que se ocupa de introducir un quinto elemento:

Una interpretación formal. En los lenguajes naturales, una misma palabra puede significar diversas cosas dependiendo de la interpretación que se le dé. Por ejemplo, en el idioma español, la palabra «banco» puede significar un edificio o un asiento, mientras que en otros idiomas puede significar algo completamente distinto o nada en absoluto. En consecuencia, dependiendo de la interpretación, variará también el valor de verdad de la oración «el banco está cerca». Las interpretaciones formales asignan significados inequívocos a los símbolos, y valores de verdad a las fórmulas.

Lógicas clásicas

Los sistemas lógicos clásicos son los más estudiados y utilizados de todos, y se caracterizan por incorporar ciertos principios tradicionales que otras lógicas rechazan. Algunos de estos principios son: el principio del tercero excluido, el principio de no contradicción, el principio de explosión y la monoticidad de la implicación. Entre los sistemas lógicos clásicos se encuentran:

Lógica proposicional

Lógica de primer orden

Lógica de segundo orden

Lógicas no clásicas

Los sistemas lógicos no clásicos son aquellos que rechazan uno o varios de los principios de la lógica clásica. Algunos de estos sistemas son:

Lógica difusa: Es una lógica plurivalente que rechaza el principio del tercero excluido y propone un número infinito de valores de verdad.

Lógica relevante: Es una lógica paraconsistente que evita el principio de explosión al exigir que para que un argumento sea válido, las premisas y la conclusión deben compartir al menos una variable proposicional.

Lógica cuántica: Desarrollada para lidiar con razonamientos en el campo de la mecánica cuántica; su característica más notable es el rechazo de la propiedad distributiva.

Lógica no monotónica: Una lógica no monotónica es una lógica donde, al agregar una fórmula a una teoría cualquiera, es posible que el conjunto de consecuencias de esa teoría se reduzca.

Lógica intuicionista: Enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo de las transformaciones de las proposiciones.

Lógicas modales

Las lógicas modales están diseñadas para tratar con expresiones que califican la verdad de los juicios. Así por ejemplo, la expresión «siempre» califica a un juicio verdadero como verdadero en cualquier momento, es decir, siempre. No es lo mismo decir «está lloviendo» que decir «siempre está lloviendo».

Lógica modal: Trata con las nociones de necesidad, posibilidad, imposibilidad y contingencia.

Lógica deóntica: Se ocupa de las nociones morales de obligación y permisibilidad.

Lógica temporal: Abarca operadores temporales como «siempre», «nunca», «antes», «después», etc.

Lógica epistémica: Es la lógica que formaliza los razonamientos relacionados con el conocimiento.

Lógica doxástica: Es la lógica que trata con los razonamientos acerca de las creencias.

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Fundamentos /métodos numéricos

MÉTODOS NUMÉRICOS

Un modelo matemático puede definirse como una formulación o una ecuación que expresa las características, esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos.

Vd = f (vi, p , f ) (1)

Vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema.

Vi = variables independientes como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del sistema será determinado.

P = parámetros , son reflejos de las propiedades o la composición del sistema.

f = funciones de fuerza, son influencias externas sobre el sistema.

De la segunda Ley de Newton:

F = ma ; reordenando

f

a = ______ ( 2 )

m

 

Características de este modelo matemático.

1.- Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.

2.- Representa una simplificación de la realidad.

3.- Conduce a resultados predecibles.

Otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos.

De nuevo si usamos la segunda Ley de Newton para determinar la velocidad final o terminal de un cuerpo, tenemos un expresión de aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo:

f

dv = _____ ( 3 )

dt m

Para un cuerpo que cae, la fuerza total es:

F = FD + Fu ( 4 )

 

FD = La atracción hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad.

Fu = Fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire,

En donde:

FD = mg

Fu = -cu

c = coeficiente de resistencia o arrastre

Como la fuerza total , es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, tenemos:

dv = mg - cu ( 7 )

dt m

dv = g - c/m (v) ( 8 )

dt

Esta ecuación es un modelo matemático que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él.